RESOLVEN O PROBLEMA DO SOFÁ

Matemático resolve "a man" o famoso "problema do sofá" / ChatGPT/Eugenio Fdz.-Sofá nunha esquina

Algunha vez enfrontácheste ao reto de mover un sofá por un corredor estreito e ao chegar á esquina parece que simplemente non pasará? As Matemáticas teñen a resposta. Este dilema, que todos vivimos nalgún momento, ten a súa propia versión matemática: o "problema do sofá".

O problema, que parece nacido dunha situación cotiá, foi formulado polo matemático Leo Moser en 1966 para investigar os límites do movemento en espazos restrinxidos. Expxo unha pregunta sinxela pero fascinante: cal é a área máxima dunha figura que pode virar e pasar por unha esquina en forma de L dentro dun corredor de ancho unitario?

Tras décadas de intentos e aproximacións, un matemático surcoreano, Jineon Baek, deu coa resposta definitiva. Nun artigo de máis de 100 páxinas, Baek confirma que o sofá máis grande que pode superar este desafío ten unha área de 2,2195 unidades, validando un deseño proposto en 1992. O seu traballo, baseado en conceptos avanzados de xeometría, non só resolve un problema que levaba máis de medio século sen resposta, senón que tamén nos lembra como as matemáticas están presentes nos problemas máis cotiáns​​. 

En 1968, o matemático John Hammersley ofreceu a primeira solución aproximada, suxerindo un sofá composto por unha semicircunferencia unida a un cadrado cunha porción circular recortada. Este deseño, aínda que enxeñoso, alcanzaba unha área de 2,2074 unidades, lonxe de ser óptimo. Máis tarde, estableceu un límite superior teórico de 2,8284 unidades, descartando formas máis grandes para o corredor estándar​.

 Foi en 1992 cando Joseph Gerver revolucionou o campo coa súa proposta dun sofá de 18 curvas analíticas. O seu deseño extremadamente preciso alcanzaba unha área de 2,2195 unidades e marcou un novo límite inferior. Aínda que o seu traballo foi amplamente aceptado como unha solución "localmente óptima", non se demostrou se era a mellor posible en todas as configuracións xeométricas​.

Sofá de Gerver, composto por 18 curvas / Wikipedia

O enfoque de Jineon Baek abordou o famoso "problema do sofá" cunha combinación de rigor matemático e creatividade, marcando un punto de inflexión na investigación xeométrica. A súa metodoloxía baseouse en técnicas avanzadas de xeometría, onde destaca unha propiedade chamada condición de inxectividade. Esta condición asegura que unha figura non poida cruzarse a si mesma ao moverse polo corredor, un principio crave que permitiu a Baek reducir significativamente as configuracións posibles e enfocarse naquelas que realmente maximizarían a área do sofá. 

O modelo de Baek non só confirmou a validez do deseño de Gerver como óptimo, senón que tamén introduciu un marco matemático máis sólido para abordar este tipo de problemas. Utilizando o teorema de Green, que relaciona a área dunha figura coa súa contorna, Baek demostrou que a máxima área posible, dentro dos límites impostos por un corredor de ancho unitario, coincide exactamente co deseño proposto por Gerver en 1992. Este logro non sería posible sen a combinación de xeometría diferencial, teoría da convexidade e a análise detallada das propiedades do movemento.

Unha das contribucións máis notables de Baek foi prescindir case completamente do uso de computadoras para verificar a súa solución. A diferenza de estudos previos, que dependían en gran medida de simulacións numéricas ou probas asistidas por software, Baek presentou un razoamento matemático completo que pode ser revisado e reproducido por outros expertos. Este enfoque reduce a posibilidade de erros asociados con aproximacións computacionales.

Baek amplía ademais a comprensión do problema ao analizar as relacións entre diferentes rexións do sofá, coñecidas como "capas" e "nichos". Estas rexións, modeladas como corpos convexos, axudaron a describir matematicamente a estrutura do sofá de forma máis precisa. A súa inclusión permitiu expresar o problema como unha función cuadrática, simplificando a súa análise e asegurando que calquera desviación da configuración óptima reducise a área dispoñible.

En última instancia, o traballo de Baek resolve un problema aberto durante máis de medio século, pero tamén senta as bases para investigar outros desafíos xeométricos similares. O seu enfoque innovador, que combina teoría matemática clásica con ideas modernas, é unha invitación para explorar como as matemáticas poden iluminar problemas aparentemente cotiáns.

Pode parecer que resolver o "problema do sofá" é un simple divertimento matemático. Nada máis lonxe da realidade, pois este logro abre novas portas para explorar problemas relacionados co movemento e a optimización espacial. En robótica, por exemplo, entender como obxectos complexos navegan espazos confinados é crucial para deseñar sistemas máis eficientes, desde drons ata robots de rescate​​.

Con todo, algúns retos permanecen. Que ocorre se o corredor ten esquinas múltiples ou variacións no seu ancho? Estas extensións do problema orixinal xa comezaron a atraer a atención da comunidade matemática. Unha proposta interesante é o deseño dun "sofá ambidiextro", que podería virar en esquinas tanto á dereita como á esquerda. Este modelo foi suxerido por Dan Romik e podería ter aplicacións en deseño industrial e arquitectura​.

Aínda que aínda falta a revisión por pares para validar formalmente o traballo, a comunidade matemática celebra este avance como unha demostración de como mesmo os problemas máis abstractos poden ter solucións elegantes e definitivas.

FONTE: Eugenio M. Fernández Aguilar/muyinteresante.com