EUCLIDES E OS PIARES DAS MATEMÁTICAS

Relixión e ciencia encabezan a lista de libros con máis éxito da historia. Mentres a Biblia mantense en primeira posición, sorprende que a segunda a ocupe un tratado escrito cara ao ano 300 a. C. por un autor do que apenas sabemos nada. Elementos, do grego Euclides, foi editado máis de mil veces e consta de trece volumes sobre xeometría e aritmética, que recompilaron tres séculos de pensamento matemático. Copérnico, Galileo,  Kepler ou Newton construíron as súas teorías despois de aprender con este libro de texto, que aínda segue vixente e que durante moitos séculos impulsou a física e a astronomía, non só as matemáticas.

Baixo o reinado de Ptolomeo I (367 a.C.–283 a.C.), Euclides instalouse en Alexandría. Naquela cidade (un dos centros intelectuais da época, coa súa Biblioteca e o seu Museo) fundou unha importante escola matemática e escribiu Elementos, cuxo orixinal non se conserva, pero do que hai copias posteriores tanto gregas como latinas e árabes.

Papiro Oxyrhynchus que amosa o fragmento de Elementos de Euclides / Wikimedia

Segundo o filósofo Proclo de Licia, Euclides formouse na Academia de Platón, cuxa influencia apréciase na súa obra, que dedica unha parte á construción dos cinco sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro). O resto da súa vida é un misterio, tal e como afirmou o escritor británico Edward M. Foster: “En verdade, non sabemos nada del, hoxe considerámolo máis como unha rama do saber que como un home”.

Tras o esplendor do pensamento grego, Euclides puxo orde e ampliou o traballo doutros matemáticos anteriores. Tan importante é o contido da súa obra como a estrutura que lle proporcionou. A partir dunhas poucas de ideas, demostrou un longo número de resultados nos que ademais visibilizou os principios do razoamento matemático. Fronte a ideas anteriores deslavazadas e eminentemente prácticas, Euclides demostrou teoremas usando regras deductivas claras, a partir de certos axiomas prefixados, co obxectivo de non deixar ningún cabo solto. Elementos presenta 131 definicións, 5 postulados ou axiomas, 5 nocións comúns e 465 proposicións. Dos seus 13 volumes, 8 abordan a xeometría no plano e o espazo, mentres que o resto están dedicados á teoría da proporción, a aritmética e a teoría da inconmensurabilidade, precursora dos números irracionais.

O Libro I de Elementos é o máis famoso: recolle os 5 postulados da xeometría no plano, que deron tema de conversación aos sabios matemáticos durante moitos séculos. Estes axiomas indican que as figuras xeométricas que manexaba Euclides podían construírse con só regula e compás, sen necesidade de ferramentas máis complexas. Os primeiros 4 postulados son bastante intuitivos, por exemplo, é posible trazar unha liña recta desde calquera punto a calquera outro ou todos os ángulos rectos son iguais. Con todo o quinto axioma é menos obvio, e provocou que moitos matemáticos posteriores tentasen enuncialo doutra maneira. En calquera caso, cando un plano cumpre os cinco axiomas de Euclides, dicimos que é un plano euclídeo e falamos de xeometría euclidiana.

“Se unha recta incide sobre outras dúas, formando do mesmo lado ángulos internos menores que dous rectos, ao prolongalas indefinidamente atoparanse polo lado en que os ángulos sexan menores que dous rectos”.

Xa desde a época de  Euclides, pensouse que o seu quinto postulado da xeometría do plano era demasiado complexo e podía enunciarse de maneira máis sinxela. Para abordar ise reto, buscáronse formulacións equivalentes dese axioma, pero de maneira que a xeometría que o cumprise seguise sendo euclidiana. Así chegouse a enunciados máis simples, por exemplo “por un punto exterior a unha recta pódese trazar unha única recta paralela” ou “a suma dos ángulos dun triángulo é de 180º”.

Non foi ata principios do século  XIX, cando matemáticos como Lobachevski, Bolyai ou Gauss expuxeron a posibilidade de crear xeometrías do plano a partir de postulados diferentes aos de Euclides, o que se coñece como xeometrías non euclidianas. A xeometría hiperbólica de Lobachevski, que só satisfai os catro primeiros postulados de Euclides, é un exemplo. Nese caso, o quinto substitúese por outro que é totalmente novo. Na xeometría hiperbólica, a suma dos ángulos dun triángulo é menor que 180º.

As ideas de Lobachevski tardaron en aceptarse. Aínda que a súa teoría considerouse matematicamente correcta, parecía contraria ao sentido común. Co tempo atopouse utilidade á súa xeometría (o universo presenta, a gran escala, unha xeometría hiperbólica), o que supuxo unha revolución para as matemáticas, ao ter que revisarse conceptos que se consideraban verdades absolutas ata entón.

Un triángulo hiperbólico / Wikimedia

A estrutura do Libro I de Elementos marcou a do resto de volumes, que a repiten e recollen cuestións habituais da matemática grega. Un exemplo é o problema da cuadratura dun rectángulo, que consiste en construír un cadrado de igual área á dun rectángulo dado. Un problema que lembra á famosa cuadratura do círculo, que desde a Antiga Grecia e durante séculos trouxo de cabeza aos matemáticos; pero hoxe sabemos que non pode resolverse empregando só regula e compás, igual que tampouco pode representarse dese modo o número pi.

Na parte dedicada á aritmética aparece tamén o famoso algoritmo de Euclides, que aínda hoxe emprégase con frecuencia para calcular o máximo común divisor. Máis de 2.300 anos despois, as matemáticas deste case descoñecido grego séguense aplicando nas aulas de Secundaria.

FONTE: Bibiana García Visos e Daniel Arias Mosquera/bbvaopenmind.com