Feliz (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)²!

Durante estas datas, nas felicitacións do ano que comezou, entre bos desexos, árbores de Nadal, paisaxes nevadas e outros elementos de tempada, ás veces, cóanse propiedades matemáticas da nova cifra: se é primo ou, en caso contrario, se se pode descompoñer nos seus factores de forma curiosa, se se pode expresar como unha suma rechamante… O ano acaba de comezar, 2025, admite unha fórmula deste tipo: é o cadrado dos nove primeiros números naturais. É dicir:

2025 = (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)^²

Trátase dun número poligonal: un número natural que se pode representar gráficamente como un polígono regular.

De arriba abaixo, números triangulares, cadrados e pentagonales, os tres primeiros tipos de números poligonales.

No caso dos números cadrados, son o 1, o 4, o 9… Este tipo de cifras, que se estudan desde a antigüidade, tamén poden expresarse con fórmulas. Por exemplo, para calquera número natural n, a fórmula do n-ésimo número cadrado é n^².

Como 2025 = 45^², 2025 é o cuadraxésimo quinto número cadrado.

 A fórmula para os números triangulares tamén é sinxela: o n-ésimo número triangular obtense ao sumar os n primeiros números naturais. É dicir, o primeiro número triangular é o 1, o segundo o 3 (1+2), o terceiro, o 5 (1+2+3) e así sucesivamente. O 45 é o noveno número triangular. Por tanto, 2025 non é só un número cadrado, senón que se trata do cadrado do noveno número triangular.

Ademais, como o cadrado da suma dos n primeiros números é igual á suma dos cubos dos n primeiros números 2025 tamén se pode escribir como:

1^³+2^³+3^³+4^³+5³+6^³+7^³+8^³+9^³

FONTE: Manue de Leon e Ágata A. Timón/elpais.com  Imaxe: Olga Peshkova/los40.com