Resolto, por fin, a conxectura de Kakeya

A matemática china Hong Wang, na localidade madrileña do Escorial, o 12 de xuño / Pablo Monge

Hai problemas con aparencia infantil, pero que esconden un monstruoso labirinto mental en cuxos canellóns sen saída perdéronse algúns dos cerebros máis dotados da humanidade. O matemático xaponés Soichi Kakeya expuxo un moi sinxelo en 1917. Só hai que poñer unha agulla ou un bolígrafo contra unha parede e colocar a punta mirando ao teito. Se queremos darlle a volta e que apuntamento ao chan, cal é a superficie mínima que debuxará a traxectoria? A resposta intuitiva é que ao investir a agulla formará un círculo perfecto, pero, se se move con pericia, compoñerá unha especie de triángulo de lados cóncavos, cubrindo unha área menor. A matemática Hong Wang explica unha variante endiañada do problema de Kakeya. Colle un bolígrafo dourado no aire e comeza a viralo con delicadeza. Cal sería o volume mínimo para apuntar a todas partes? Wang e o seu colega Joshua Zahl son as primeiras persoas que saen vivas deste labirinto. Resolveron a conxectura de Kakeya en tres dimensións.

J. A. IGUACEL / EL PAÍS

Hong Wang naceu hai 34 anos en Guilin, unha cidade chinesa rodeada de montañas tan puntiagudas e frondosas que parecen irreais. A paisaxe, protagonista de lendas de dragóns e demos, é tan belo que en China circula unha frase lapidaria atribuída a un poeta: “Prefiro nacer en Guilin que ser un deus”. Wang move o bolígrafo no aire nun xardín da localidade madrileña do Escorial, onde acudiu para explicar os seus resultados durante tres días de xuño nun congreso organizado polo Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). A investigadora debuxa volumes no aire, coma se estivese en transo. O seu traballo abriu a porta a un mundo abstracto descoñecido e conmocionou aos seus colegas. “É un dos maiores logros matemáticos do século XXI”, proclamou o seu compañeiro israelí Eyal Lubetzky.

A solución ao problema de Kakeya non é un debuxo tridimensional, senón un estudo de 127 páxinas cheas de fórmulas. Un asistente ao congreso do Escorial chancea dicindo que só dúas persoas no mundo son capaces de entender completamente esas 127 páxinas: os seus propios autores. “Eu non tiña a ambición de resolver o problema de Kakeya”, afirma Wang, da Universidade de Nova York (EE UU). A profesora nin sequera lembra a primeira vez que escoitou falar da agulla que dá voltas no aire, pero si se acorda do día en que coñeceu a existencia do seu auténtico obxectivo: a conxectura de restrición. “Foi lendo un estudo dun matemático español, Luis Vega”, rememora.

A conxectura de restrición é un dos problemas abertos máis relevantes da análise harmónica, unha rama das matemáticas que estuda como descompoñer un sinal, como as do son, en compoñentes máis básicos. A técnica principal, chamada transformada de Fourier polo seu creador (o francés Joseph Fourier (1768-1830)), permite agora comprimir arquivos dixitais de audio e vídeo. É unha das áreas máis candentes da disciplina e as súas aplicacións salvan millóns de vidas, ao posibilitar tamén a formación de imaxes de diagnóstico médico, como a resonancia magnética e o electrocardiograma. A conxectura de restrición trata do diferente comportamento da transformada de Fourier cando se restrinxe a unha superficie curva, como a esfera.

Wang fala do seu asalto á conxectura de restrición coma se acabase de instalar o campamento base ao pé dunha montaña hostil xamais escalada na súa Guilin natal. “A conxectura de Kakeya é o punto de inicio, está na base dunha torre de conxecturas”, sinala. “A conxectura de restrición é máis poderosa. Para facer progresos necesitas entender moi ben a de Kakeya”, engade Wang, que a entendeu tan ben que a resolveu. Cando moitas rectas (ou agullas) superpóñense no espazo poden dar lugar a unha configuración de paquetes de ondas, por iso a conxectura de restrición implica a de Kakeya, en palabras do estadounidense Terence Tao, un dos mellores matemáticos vivos.

O español Antonio Córdoba, de 76 anos, dedicou a súa tese doutoral en 1977 ao desafío de Kakeya. Nun texto divulgativo, tras a resolución da conxectura, explicou que as agullas da formulación inicial convértense en paralelepípedos, cilindros ou tubos en dimensións maiores. Córdoba, exdirector do ICMAT, aplaudiu o traballo de Wang e Zahl. “Empregan (no ronsel da miña tese) complicadso cálculos do solapamento de paralelepípedos no espazo, baseados na xeometría clásica de Euclides, pero dunha complexidade combinatoria tal que o seu desenvolvemento necesita máis de 120 páxinas de intrincados razoamentos”, expuxo Córdoba. “É un exemplo do que me gusta denominar suprematismo en análise harmónica (polo uso de rectángulos e tubos, similares aos observados en obras do movemento pictórico ruso), pero, no seu caso, trátase dun suprematismo barroco, se se permite o oxímoron”, engadiu.

FONTE: Manuel Ansede/elpais.com/ciencia